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如右图，六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：

1）对角相乘乘积为1，即sinθ·cscθ=1；cosθ·secθ=1；tanθ·cotθ=1。

2）六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ...

3）阴影部分的三

六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，

三角函数

单位圆的方程是：对于圆上的任意点（x,y），x²+y²=1。

图像中给出了用弧度度量的一些常见的角:逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ=y/1 和 cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。

对于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度θ和任何整数k。

周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。

在正切函数的图像中，在角kπ 附近变化缓慢，而在接近角 （k+ 1/2）π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = （k+ 1/2）π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 （k+ 1/2）π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 （k+ 1/2）π 的时候函数接近负无穷。

三角函数

另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别 是，对于这个圆的弦AB，这里的 θ 是对向角的一半，sinθ是AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ是水平距离OC，versinθ=1-cosθ是CD。tanθ是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ是另一个切线段AF。secθ=OE和 cscθ=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是 exsecθ= secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

依据单位圆定义，可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，A（1,0）是圆O与x轴正半轴的交点，过A点做过圆O的切线。

那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或反向延长线）与过A点的切线的交点为T，则向量AT对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。

角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值，如：

 ；

 ；

 。

变化规律

正弦值在

 随角度增大（减小）而增大（减小），在

 随角度增大（减小）而减小（增大）；

余弦值在

 随角度增大（减小）而增大（减小），在

 随角度增大（减小）而减小（增大）；

正切值在

 随角度增大（减小）而增大（减小）；

余切值在

 随角度增大（减小）而减小（增大）。

注：以上其他情况可类推，参考第五项：几何性质。

除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：

乎乎的小手上，他摇晃着身子，小手在黑白键上随意移动，脚掌在地上一起一落，谁都不知道他在弹些什么。他似乎很陶醉似的紧闭双眼，微抿小嘴，哼唱着一些毫不搭调的曲子，满脸的欢喜。

他是我的表弟，一个对音乐一窍不通的小男孩，每每坐到我的琴前，都会表现出一副音乐家的姿态，在琴键上尽情挥洒他对于音乐的热爱。

曾几何时，我也像他一样，秉承着一份热情，投入一项爱好，无法自拔。我会在一张画纸上，倾泻小小的情绪，尽管画工十分浅薄；我会在动听的乐曲里，不由自主地歌唱，尽管嗓音不那么嘹亮；我会用相机，用心记录下沿途所见的风景，尽管技术并不精湛……我想，人生在世，何必在意那些细枝末节，学会在平淡如水的生活中，用双手扬起朵朵浪花，寻找生活的情趣，抓住逝去的光阴里的每一个小空隙。会玩，才好。喜欢约上三两个好友，登上高高的山顶，在天宇下放声歌唱。在山顶上歌唱，脑袋是空空的，心是明朗的。当自己的歌声从那方的山传回时，心是飘飘的，飘出了躯壳，飘到了天上，与浮云做伴，与天宇相栖。唱到漫天繁星，唱到街灯通明，唱

春暖花正开，我们都是一群开始学会浅忆的孩子，总是喜欢自由的穿梭在季节的半度微凉里，行走着，也不断寻找着，那个温暖季节里不老的青春，那个春天中哭过笑过的日子。

凉凉的风迅速钻进每个刚出教室的人的脖子里，吸走所有温暖之后扬长而去。一个个班级排着不太整齐的队形围着操场跑着，踩着还恋恋不舍离去的风，循环似地跑。在这个沙土满天飞的地方，这个用多少汗水浇灌过依然没有变样的地方，这个满天飞舞着梦想羽毛的地方。我，我们都在进行着一场不允许暂停的旅程。

卸下了厚重的围脖、手套，每个人都显得清爽多了，这也许就是春天对我最大的馈赠吧。迫不及待换上单薄衣服的我也任岁月在我单薄的青春里放肆地游走，这个季节也记载着我们“时光不老，我们不散”的誓言。在初三仅剩的七十多天里，开始享受着汗水浸透衣服的酣畅，开始提笔将一件件往事定格在同学录上，尽管这些精致的纸掩盖不住每个人内心的伤。这些都是这个季节的附带品，我像是个提前拆开了包装的人，没理由拒绝。也许，还不是最感伤的六月，但我已经开始练习释然，预演着一颗不会流泪的心。事实证明是我无能，放不下这珍贵的三年光阴，走不出这个温暖到伤悲的春天。

2019年的春天，我们说好一起走下去，就当做我三年初中生活的最终结局，就当我们关于这个季节的约定。

阳光将雾气暖开了，化作一滩水花落在地上，无声无息中视界清晰了，空气中充斥着这个季节本来的清新。远山轮廓分明，学校里新栽的玉兰花含苞待放，一切都在盼望着。复习、订正习题成了每天的生活，和每个初三学生一样，习惯性地在练习本上凌乱地写着运算步骤，将算出的答案无比认真的写在试卷上，用醒目红笔圈改着，看着练习册上那从未谋面的题目。偶尔抬头仰望几下我眼中总有云飘过的天空。这个春天，我们一直在成长，仿佛镌刻着生命中一段独一无二的时光。

每天都是打在走廊里的几米阳光，老师们总不时地向我们脑中灌输着“努力学习，再拼上两个月”的信息。在这样的日子里，看个电视剧成为了每个学生最大的奢侈。看书、复习成了我一直坐在书桌前的动力。如果说夏天是每个毕业生都抱成一团哭的季节，那么春天就是每个毕业生拼搏努力的季节。所以，阳光正明媚，路上花正开，我们正行走着。

放任心飞行，原来春天一直都在，不想把季节的更替禁锢在日历上。我想那应该是一种无休止的奔跑。蓝天白云绿草地，任由心情行走在自然的馥郁里，我向往着，这淡然的时光，这偶尔会盼望着的早春时节。我想春天就是这样一种意境吧，像天空中的云一样，自己飘出一个世界，无论生活给予的是悲伤还是快乐，这惬意的春一直都在。繁忙之中，仍有季节陪我走。

到耐不住山风的

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

料峭时，我们才舍得离去。

喜欢背上吉他，去到远方的原野，与轻风流水应和。弹自己最爱的曲子，想自己最想念的朋友：她在那边还好吗，她是否过得快乐呢？喜欢周杰伦的《枫》中的“缓缓飘落的枫叶像思念，我点燃烛光温暖岁末的秋天”，然而我的思念就像那绵绵不断的轻风，像那缓缓而过的流水。我多想用自己仅会的几首曲子，来温暖自己心灵的秋天。

喜欢到小城的美食街上，去寻找不一样的风味。油泼辣子淌在软糯白嫩的面条上“滋滋”作响，一清二白三红四绿的拉面也别具风味。当晶莹剔透的凉皮弹入双唇时，酷爽的炎夏又多了一分韵味。尝的是油盐酱醋茶，品的是生活的酸甜苦辣咸。喜欢在夕阳的余晖里，捧上一本最爱的书，缅怀又一天的逝去。感谢东坡先生教会我，要一直保持“仰天大笑出门去”的乐观旷达；感谢青莲居士教会我，要在平淡无奇的生活中追寻浪漫；感谢易安居士教会我，要在逆境中学会抗争……还喜欢《简·爱》中女主人公的人格独立，喜欢《红楼梦》中林妹妹的“腹有诗书气自华”，喜欢《追风筝的人》中哈桑的虔诚善良……

这些感人的书，这些不平凡的人物，伴我走过美好的青葱岁月。感谢，感恩。

会玩，才好。在生活中会玩，在玩中学会生活。在繁忙的生活中学会自我排解，用一颗向上的心去感知生活的美好，才能够活得舒服，活得有意义。那么，玩起来如果能够把疾病也全数消灭，那么这份苦难又将由(比如说)像貌丑陋的人去承担了。就算我们连丑陋，连愚昧和卑鄙和一切我们所不喜欢的事物和行为，也都可以统统消灭掉，所有的人都一样健康，漂亮，聪慧，高尚，结果会怎样呢?怕是人间的剧目就全要收场了，一个失去差别的世界将是一条死水，是一块没有感觉没有肥力的沙漠。

4、浩倡。《九歌·东皇太一》：“陈竽瑟兮浩倡”。“浩倡”又作“浩唱”，和上句“安歌”相对应。取名时可改为“浩昌”。下文《九歌·少司命》中还有“浩歌”。令诸校屯豫章梅领待命。

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文章来源：我是王耳朵

这两天，发生了一件让无数家长愤怒和不安的事情：人教版数学教材插图“丑”上热搜。兔女郎、纹身、表情诡异；裸露下体、性暗示、国旗画错……这已经不是审美问题，这是价值导向出了大错。要知道这些都是给小学生使用的教材。他们可能字都认不全，但是一定对图片印象深刻。就像画家史国良先生说的那样：“一个好的插图，尤其是对孩子来说，是人生社会的第一口奶，教育从娃娃抓起，美育也要从娃娃抓起，这是中国文化传承的百年大计。” 关闭观看更多更多正在加载正在加载退出全屏

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刷新 视频详情 细思极恐的是，人教版的那套数学教材从2012年审定到现在已经有10年。至于负责插图的所谓“北京吴勇设计工作室”，更是“查无此人”。甚至有业内人士表示：“有些童书插画压根就没有经过完整的审校。”这是孩子们的不幸，更是现在教育的失败。

为什么这么说？和大家看一组1952年出版的教育海报。那时我们没有那么好的物质条件，但是那些图片传递的价值观，着实让我们现在的教育汗颜。第一幅：情的发育——父母之爱充满爱的教育带来幸运；缺乏爱的教育只能导致不幸。老话说：“没有规矩，不成方圆。”宠爱不溺爱，宽容不纵容。慈严相济，孩子才能自律自爱；有理有度，孩子才能明辨是非。第二幅：同情和爱护学前教育学家研究得出，孩子在3岁左右的时候具备了同理心，也就是我们常说的“共情能力”。培养孩子的同情心是顺应儿童身心发展的行为。年幼的时候，家长要给予孩子尽可能多的陪伴和呵护，让他们感受到爱和温暖。等他们慢慢长大，就鼓励他们去帮助他人，爱护弱小。这样，他们就能在未来更好地步入社会，更好地和他人相处。第三幅：发展想象力教育家苏霍姆林斯基说：“求知欲、想象力是人的永恒的、不可改变的特性。孩子提出的问题越多，那么他在童年早期认识周围的东西也就愈多，在学校中越聪明，眼睛愈明，记忆力愈敏锐……”父母需要明白的是：凡事有想象力，比凡事不出错重要。最健康的教育是，是让孩子多阅读，多思考，让“奇思妙想”成为最好的老师。第四幅：勇敢与惧怕教育学提出过一个概念：20码距离。“20码”是个象征——家长要注重从小培养孩子的独立性，不可处处围着孩子转，凡事留给他自己成长的空间。孩子最需要的，是努力向上的力量。在父母的怀抱里寻求安全感，不如在困境中勇往直前。第五幅：嫉妒与公平从小我们都被教育学习孔融让梨，但是并不是每个孩子都是孔融。多孩家庭的纷争，并非源自兄弟姐妹的分爱，而是因为父母的不公正。让孩子们知道自己都是家庭中的重要一员，都拥有父母无私的爱，才能将成长道路上的小小矛盾，升华成为手足情深。第六幅：好奇心并非破坏对于孩子的“拆家”行为，很多家长深恶痛绝。这时候一定要区分清楚，孩子是淘气，还是对这个世界充满好奇。著名天文学家、科普作者卡尔•萨根曾说：“每个孩子生来就是科学家，是我们让他们放弃了这个天性。只有少数人带着对科学完好无损的热情和好奇心挺过了成人的考验。”第七幅：关于生的问题从这张性教育图上，我们看不到一点“少儿不宜”。1952年的教育工作者，比现在的有些从业者显然更有智慧，也更有远见。性教育，并不是什么洪水猛兽。性教育的本质，是一种关爱教育。让孩子提前明白，能够避免他们在懵懂无知中受到伤害。第八幅：关于死的问题《儿童生死教育之理念与实施》中说：“儿童在4岁左右就会产生死亡的概念。如果无法得到父母或老师的正确引导，容易对死亡产生错误认知，进而产生负面情绪，影响一生。”万事万物都有终结，无论你说不说，孩子总能接触到死亡。与其讳莫如深，让孩子误解，产生错误甚至扭曲的生死观，不如开诚布公。只有让孩子正确地认识死，才能更好地明白生。 这套1952年出版的教育海报，如果只论绘图形象，可能不见得所有人都喜欢。但是你要问它们美不美？我想说这样的绘图才是最美的绘图。比起美术设计，好的三观，会让孩子受益终生。所以，对比那些“毒插图”，我有3句话不吐不快。第一，给孩子怎样的“暗示”，就会塑造出怎样的孩子。请听一个小学生的在线吐槽：“妈妈，我之前已经跟你说了，这些图片好丑，你让数学老师换一本数学书好不好。”起初家长还没太当一回事，可是小女孩接下来的一句话，却让我们心头一紧：“我一看这个图片就做噩梦，所以我最少翻开数学书。”“我很少带数学书回家。”你以为只是几张无所谓的插图，日积月累，却可能会成为了孩子的心理阴影，在潜移默化中消减了孩子的学习热情。第二，大人的世界全是屁股。看过一个故事，叫《大人的世界全是屁股》：从孩子的角度望出去，会发现这个世界，来来回回都是大人的屁股，而看不见大人们的脸。什么意思？也就是说，有些“大人”，总是高高在上，压根就没有蹲下来听孩子说话。就连一个5岁小孩，都能看出来那些插图“像傻子”。别告诉我一群编写教材、审核教材、使用教材的大人觉得那是艺术。

第三，父母，是教育的最后一道防线。

人教版小学数学教材风波发生后，有一个细节值得我们深思。《红星新闻》的采访中，一位家长告诉记者，他是在事后仔细翻阅了女儿的教材，才看到诸多问题。试问一下，这些年，有多少父母能像70年前那套教育海报中说的那样，真正参与到孩子的成长之中呢？耳朵和身边的家长朋友聊过，对于人教版插画事件他们相当后怕。有的还为自己的后知后觉自责不已。孩子是一张白纸，父母必须帮助孩子守好教育的最后一道防线。 1949年，新中国成立，我们听到过这样一个声音：“教科书对国计民生影响特别巨大，要由国家来办。”“宁可把别的摊子缩小点，必须抽调大批干部编写教材。”这是教育的初心，也是我们的信仰。昨晚，我们终于等来了一则通告：人教社就插图事件向公众道歉，并且作出了整改说明。孩子们新学期，终于可以换新书了。不过书可以换，教育能不能知错就改才是关键。希望我们都能牢记这个教训，更希望我们都能回归教育的本质。就像《中国新闻周刊》所言：“教材是干什么的？立德树人、培根铸魂、启智增慧，这里没有一个词是轻飘飘的。”千万不要等到出了问题了，才去匆匆忙忙地打补丁。如果路错了，那就停下脚步，回头看看我们曾经走来的那条阳光大道。参考资料：上海新亚书店出版：《儿童教育心理图》每日经济新闻：《“人教版插图教材”竟用了近10年！一线数学教师：拿到教材就感觉怪异！专家：仅内部审查不合理……》观察者网：《教育部发话，人教社终于道歉》●●● END ●●●

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